1.3  Le système haptique côté action : le système moteur

Nous allons maintenant présenter l’autre côté du système haptique tel que nous le considérons. La partie 1.2 concernait le sous-système perceptif. Ici, c’est donc le sous-système moteur qui va nous intéresser.

Et pour tenter de garder une cohérence lors de la présentation d’un système très complexe, nous allons découper le discours en plusieurs parties, depuis les définitions psychophysiques de bas-niveau, en remontant les abstractions, vers les définitions de l’aboutissement de l’exécution du système moteur : le mouvement, puis le geste.

Un petit peu de psychophysique

Petit rappel de la définition du système haptique : il s’agit de la combinaison

  1. du système perceptif lié au toucher et à la kinesthésie (vu en 1.2),
  2. et des mouvements d’exploration.

Cette combinaison confère au système haptique une propriété unique : un même système nous permet de connaître notre environnement (sous-système perceptif de la kinesthésie et du toucher), et d’agir sur lui (les mouvements d’exploration).

L’objet de cette partie est de donner quelques notions sur le sens du mouvement, lui-même lié au système moteur.

Le système moteur permet de contrôler la position du corps ainsi que les forces à mettre en jeu lors de l’interaction avec le monde extérieur.

Pour le définir un peu plus précisément, les bandes passantes relatives au système moteur vont suivre. La bande passante d’un système est la vitesse à laquelle nous répondons aux stimuli par une action. Elle s’exprime en Hertz (Hz), car nous parlons ici de fréquence; pour obtenir le temps de réaction, il faut prendre l’inverse.

Pour le système moteur, la bande passante oscille selon les situations entre 1 et 10 Hz (Casiez, 2004):

  • réponse à des signaux déstabilisant : entre 1 et 2 Hz (0,5 à 1s)
  • réponse à des signaux périodiques : entre 2 et 5 Hz (0,2 à 0,5s)
  • réponse à des trajectoires apprises : 5 Hz (0,2s)
  • réponse de type réflexe : 10 Hz (0,1s)

Pour donner un ordre d’idée sur l’intensité des forces mises en œuvre, elles sont de l’ordre de 44N au niveau des articulations des doigts et de 102N au niveau de l’épaule pour un homme.

De manière similaire à ce que l’on a pour la perception tactile, il a été possible de tracer un homonculus sur le système moteur humain (figure 1.4mot}).

Figure 1.4 : Homonculus du système moteur

Toujours de manière parallèle à ce que l’on a observé pour la perception tactile, il faudra tenir compte des capacités physiologiques du système moteur lors de la conception de méthodes d’interaction haptique, et lors du choix et de la position d’utilisation des périphériques.

Notre discours va à présent s’élever d’un cran, en terme d’abstraction du système moteur : après la psychophysique, nous abordons le concept de mouvement, au travers de ses modélisations mathématiques.

Les lois mathématiques liées au mouvement

La conséquence extérieure de la mise en action du système moteur, c’est le mouvement. Il n’est pas question ici de traiter en profondeur du mouvement, car il faudrait une thèse entière.

Nous survolons ici quelques lois mathématiques qui tendent à modéliser le mouvement. La loi de Fitts donne ainsi le temps nécessaire pour un geste de pointage; la loi d’Accot précise le temps lorsque la tâche est plus spécifiquement un suivi de trajectoires; la loi de puissance 2/3 et la loi de jerk minimal tendent à modéliser les trajectoires des gestes. Enfin, le modèle d’impulsion initiale modélise plus spécifiquement le geste de pointage.

La loi de Fitts

En 1954, Fitts a empiriquement développé un prédicteur quantitatif donnant le temps nécessaire pour effectuer une tâche de type “ acquisition et pointage d’une cible” (Fitts, 1954). Il a présenté le rapport suivant, connu sous le nom de loi de Fitts.

Le temps du mouvement MT requis pour sélectionner une cible de taille W situé à une distance A est :

\begin{equation} MT=a+b\log_{2}(2A/W)\label{eq:fitts}\end{equation}

a et b sont des constantes déterminées empiriquement. Le logarithme \(\log_{2}(2A/W)\) représente l’indice de difficulté (ID) de la tâche et est exprimé en bits (sa base est 2). Plus élevée est la valeur de ID et plus difficile est la tâche. Si MT est exprimé en seconde, la constante a sera exprimée en seconde et b en seconde/bit. L’inverse de b (soit 1/b) est l’indice de performance (IP) et est exprimé en bit/seconde.

La figure 1.5 illustre l’expérience qui a permis à Fitts d’établir sa loi. La tâche que devaient accomplir les sujets était la suivante. Initialement, la main est placée à l’origine du mouvement; alors, le sujet doit aller le plus vite possible toucher une cible distante de Acm et large de Wcm.

Figure 1.5 : L’expérience de Fitts

La formulation originale de la loi de Fitts \eqref{eq:fitts} s’avère cependant inexacte pour les faibles valeur de l’ID (< 3bits), montrant une courbure de MT au dessus de la droite de régression linéaire. Une autre formulation, proposée en 1960 par Welford (Welford, 1960), permet de corriger cet effet :

\begin{equation} MT=a+b\log_{2}(A/W+0.5)\label{eq:welford}\end{equation}

Enfin, en 1992, MacKenzie (MacKenzie, 1992) a également proposé sa propre formulation :

\begin{equation} MT=a+b\log_{2}(A/W+1)\label{eq:mackenzie}\end{equation}

Ces différentes équations ne diffèrent que par la formulation de l’ID. L’équation \eqref{eq:mackenzie}, connue comme formulation de Shannon, est préférée pour les raisons suivantes (MacKenzie, 1992) :

  • elle s’ajuste un peu mieux aux observations,
  • elle imite exactement le théorème de Shannon, sous-jacent à la loi du Fitts, et
  • elle donne toujours un nombre positif pour l’indice de difficulté de la tâche.

Enfin, on peut citer quelques extensions à la loi de Fitts. En effet, cette loi ne concerne que les gestes allant d’un point à un autre en une seule fois. Mathématiquement, on peut déduire la formulation pour un geste effectué en deux parties (figure 1.6),

auxquels cas, la formulation de l’indice de difficulté ID sera :

\[ ID_{2}=2log_{2}\left(\frac{A}{2W}+1\right)\]

Figure 1.6 : Tâche pour n=2

et pour n parties (figure 1.7):

Figure 1.7 : Tâche pour n quelconque

où on aura :

\[ ID_{N}=Nlog_{2}\left(\frac{A}{NW}+1\right)\]

La loi d’Accot

La loi d’Accot ou steering law (Accot et Zhai, 1997) est beaucoup plus récente, et est utilisée pour les mouvements de suivis de chemin. L’application typique de cette loi est l’estimation du temps de sélection d’un item dans un menu déroulant à plusieurs niveaux (figure 1.8).

Figure 1.8 : Le chemin emprunté pour aller chercher un item dans des menus hiérarchiques

La loi s’exprime ainsi :

\begin{equation} T_{c}=a+b\int_{C}\frac{ds}{W(s)}\label{eq:accot}\end{equation}

T est le temps moyen pour suivre le chemin, C est le chemin paramétré par s, W(s) est la largeur du chemin à l’abscisse curviligne s, et a et b sont des constantes empiriques. Dans le cas général, le chemin est complexe, avec une largeur W(s) variable.

Des chemins plus simples permettent des simplifications mathématiques. Par exemple, si le chemin est un tunnel droit avec une largeur W constante, l’équation \eqref{eq:accot} devient :

\[ T=a+b\frac{A}{W}\]

A est la longueur du chemin. On peut observer une certaine similarité avec la loi de Fitts.

Il est également possible de dériver les deux côtés de l’équation \eqref{eq:accot} selon la variable s, et obtenir la formulation locale, ou instantanée de la loi :

\[ \frac{ds}{dT}=\frac{W(s)}{b}\]

qui dit que la vitesse instantanée est proportionnelle à la largeur du tunnel. Ceci parait logique si l’on considère l’analogie avec la conduite d’une voiture sur une route : plus la route est large, plus on peut 1 conduire vite, même s’il y a des virages.

La loi de puissance 2/3

Tout tracé curviligne peut être décomposé en parties dont chacune possède un rayon de courbure propre et est dessinée à une certaine vitesse tangentielle. L’analyse des mouvements d’écriture et de dessin a montré que la vitesse augmentait dans les parties les moins courbées de la trace et diminuait dans les parties les plus courbées. Malgré la variété de possibilités de moduler la vitesse d’exécution d’une lettre ou d’un trait, tous respectent une règle simple liant la vitesse tangentielle et le rayon de courbure de la trace suivant une loi de puissance de 2/3 (Lacquantini et Viviani, 1983). Cette covariation a donné lieu à une modélisation mathématique, telle que :

\[ V(t)=kR(t)^{\beta}\]

V est la vitesse tangentielle, R le rayon de courbure et k une constante appelée gain de vitesse.

En d’autres mots, quand on tourne beaucoup, on va moins vite . On retrouve ici la même affirmation que la loi d’Accot (voir par :La-loi-d’Accot). Il s’agit des mêmes phénomènes.

Il a été montré que la valeur de l’exposant β était constante et fixée à une valeur de 1/3. La force de cette relation a été de montrer que la valeur de cet exposant β pouvait être retrouvée dans des conditions variées d’exécution (par exemple, différentes amplitudes du mouvement; voir (Viviani et Flash, 1995)). Ces auteurs ont alors postulé que cet invariant reflétait la planification et la programmation du mouvement en référence à une représentation

Loi de jerk minimal

Connaissant le point de départ d’un geste, le point d’arrivée, et la durée du geste, quelle est l’équation du geste ? Comment s’assurer que ce geste minimisera les efforts déployés (au moins au niveau de la trajectoire, de l’évolution de la vitesse) ?

La loi de jerk minimal a été proposée par (Flash et Hogan, 1985). Elle tend à exprimer mathématiquement la trajectoire de la main (ou de tout autre extrémité du corps) la plus douce possible.

Pour ce faire, les auteurs ont montré que la douceur d’une trajectoire pouvait d’exprimer en fonction du jerk, c’est à dire la dérivée de l’accélération, ou encore la dérivée 3ème de la position.

Si on note x(t) la position d’un système, alors le jerk de ce système sera :

\[ \dddot{x}(t)=\frac{d^{3}x(t)}{dt^{3}}\]

La trajectoire optimale (au sens de la douceur ) doit alors minimiser le carré du jerk tout au long de la trajectoire. Mathématiquement, il s’agit de minimiser la grandeur :

\[ H(x(t))=\frac{1}{2}\int_{t=0}^{T}\dddot{x}^{2}dt\]

T est la durée de la trajectoire.

Après un calcul de variation, il s’ensuit que la trajectoire minimisant le jerk et allant d’un point x=xi à un point x=xf en t=dsec aura pour équation :

\begin{equation} x(t)=x_{i}+\left(x_{f}-x_{i}\right)\left(10\left(\frac{t}{d}\right)^{3}-15\left(\frac{t}{d}\right)^{4}+6\left(\frac{t}{d}\right)^{5}\right)\label{eq:jerk} \end{equation}

Par exemple, la trajectoire pour une geste de 10cm durant 0,5sec sera :

\[ x(t)=800t³-2400t^{4}+1920t^{5},\quad0\leq t\leq0,5sec\]

La figure 1.9 trace cette fonction, ainsi que ses trois premières dérivées : vitesse, accélération et jerk. La forme en cloche de la courbe de la vitesse ẋ(t) est typique du principe de minimisation du jerk.

Figure 1.9 : Position, vitesse, accélération et jerk de la trajectoire minimisant le jerk pour un geste de 10cm en 0,5sec

(Flash et Hogan, 1985) ont prouvé qu’en deux dimensions ou plus, l’équation \eqref{eq:jerk} décrivait la trajectoire assurant le jerk minimum pour chaque dimension. Par exemple, pour un mouvement en deux dimensions, la fonction à minimiser sera :

\[ H\left(\underline{x}(t)\right)=\frac{1}{2}\int_{t=0}^{T}\left(\dddot{x}^{2}+\dddot{y}^{2}\right)dt\]

et la trajectoire en deux dimensions aura pour équation :

\begin{equation} \underline{x}(t)=\left[\begin{array}{cc} x(t) & =x_{i}+\left(x_{f}-x_{i}\right)\left(10\left(\frac{t}{d}\right)^{3}-15\left(\frac{t}{d}\right)^{4}+6\left(\frac{t}{d}\right)^{5}\right)\\ y(t) & =y_{i}+\left(y_{f}-y_{i}\right)\left(10\left(\frac{t}{d}\right)^{3}-15\left(\frac{t}{d}\right)^{4}+6\left(\frac{t}{d}\right)^{5}\right)\end{array}\right]\label{eq:jerk2}\end{equation}

L’équation \eqref{eq:jerk2} implique qu’une trajectoire minimisant le jerk en deux dimensions sera toujours un segment de droite.

Le modèle d’impulsion initiale

Le modèle le plus satisfaisant quant à la modélisation des gestes, et notamment les gestes de pointages, a été proposé par (Meyer et al., 1988). C’est le modèle d’impulsion initiale. D’une manière algorithmique, le processus d’une tâche d’acquisition s’exprime ainsi :

  1. Un mouvement initial est effectué pour atteindre la cible;
  2. Tant que le mouvement n’atteint pas la cible, faire
    1. refaire un mouvement pour atteindre la cible

Le processus continue jusqu’à ce que la cible soit atteinte. L’objectif de la tâche étant d’atteindre la cible le plus vite possible, dans le cas idéal, le sujet touche la cible en un seul mouvement. Dans la réalité, cependant, la précision d’un tel geste sera très faible.

Figure 1.10 : modèle d’impulsion initiale optimisée (Meyer et al., 1988)

Il a été montré (Meyer et al., 1988;Rosenbaum, 1991) que la déviation standard S entre la fin du premier mouvement et la cible augmentait avec la distance D et diminuait avec la durée du mouvement T, selon la loi :

\[ S=k\left(\frac{D}{T}\right)\]

k est une constante.

Ceci signifie qu’un mouvement sur une longue distance, exécuté pendant un court laps de temps, est possible, mais aura une déviation standard élevée, soit une faible probabilité d’atteindre la cible. De manière similaire, une série de petits mouvements lents atteindrait très certainement la cible, mais le temps total serait extrêmement long.

La solution mathématique au problème consiste à jouer sur D et T de manière à minimiser le temps total (Rosenbaum, 1991). Dans les faits, le mouvement optimal consiste en un premier mouvement de grande amplitude et rapide, qui nous amène aussi proche que raisonnablement possible de la cible; suivi par un ou plusieurs petits gestes correctifs, et plus lents, qui se trouvent être dans les possibilités du système de contrôle moteur.

Nous en terminons ici pour les aspects mathématiques du mouvement, et nous allons reprendre notre ascension des niveaux d’abstraction du système moteur : nous allons parler des gestes.

Le geste : définitions

Geste :Mouvement du corps (principalement des mains, des bras et de la tête) volontaires ou non, révélant un état psychologique, ou visant à exécuter quelque chose. Le Petit Robert - 2001

L’ACROE (Association pour la Création et la Recherche sur les Outils d’Expression) s’est intéressée au geste en le segmentant de la manière suivante :

  1. Caractérisation quantitative de l’activité gestuelle :
    Geste digital (Poignet fixe) :
    c’est le geste du sculpteur, du pianiste, du violoniste, du dentiste. Il se caractérise par de petits déplacements (3 cm), des précisions élevées (2 mm, 10 mN), des forces élevées (80 N);
    Geste de transport local (Coude fixe) :
    c’est le geste de positionnement de proximité par déplacement de l’avant bras sur environ 30 cm avec des précisions en force et en position assez faibles (0,5 cm, 10 N);
    Geste de déplacement large (Épaule fixe, ou hanche fixe ou libre) :
    c’est un geste d’approche de faible précision (5 cm, 100 N) par déplacement du bras ou du corps à partir de 60 cm.
  2. Caractérisation qualitative et fonctionnelle de l’activité gestuelle (Cadoz, 1994):
    une fonction épistémique :
    le geste sert à connaître (un matériau, une surface, ...) et est relative au retour tactile ou haptique (activation du sens tactilo-kinesthésique);
    une fonction ergotique :
    le geste sert à déplacer, modifier, construire des objets matériels; Le geste est lié à la manipulation directe du monde physique;
    une fonction sémiotique :
    le geste sert à faire connaître : désigner, communiquer; le geste véhicule une information (qui peut résulter de l’expérience culturelle).

La fonction sémiotique du geste a vu ses caractéristiques précisée par McNeill (McNeill, 1992). Ainsi, un geste sémiotique peut être :

Iconique :
le geste est parallèle à un discours concret;
Métaphorique :
le geste est parallèle à un discours abstrait;
Déictique :
c’est un geste de pointage ou de sélection; ces gestes ont reçu beaucoup d’attention car ils correspondent aux principales tâches sur les systèmes interactifs actuels.
bâton :
le geste est un battement rythmique.


Dans cette thèse, nous nous intéressons à la fonction épistémique de l’activité gestuelle, ainsi qu’à la fonction déictique. En effet, la première est relative au retour haptique, et la deuxième aux gestes de pointage.

1
même si l’on ne doit pas, ceci restant une expérience de pensée